[선형대수학] 행렬의 연산 : 행렬의 덧셈, 스칼라곱, 행렬곱, 거듭제곱, 부행렬을 활용한 행렬곱

 

📌 행렬

: 수 또는 문자를 배열의 형태로 나타내는 것

아래첨자(i, j)를 통해 원소의 행과 열을 확인할 수 있음

 

이때, 행렬의 크기는 행 X 열의 꼴로 표현

m X n의 행렬에서 가로의 n순서쌍을 행벡터(1Xn), 세로의 m순서쌍을 열벡터(mX1)로 부를 수 있음

 

정방행렬

: m = n인 경우, 즉 행의 개수와 열의 개수가 같은 경우의 행렬

정방행렬에서 i와 j가 동일한 원소를 주대각선상에 있다고 함

 

 

📌 행렬의 합과 스칼라곱

행렬의 합 (A + B)

ij-성분이 aij + bij인 행렬로 정의

• 교환법칙(Commutative Property) 성립 : A+B=B+A
• 결합법칙(Associative Property)성립 : (A+B)+C=A+(B+C)
• 항등원(Identity Element) : A+0=A 성립
• 역원(Additive Inverse) : A+(−A)=0 성립

 

행렬의 스칼라 곱 (k * A)

ij-성분이 kaij인 행렬로 정의

• 분배법칙(Distributive Property)성립 : c(A+B)=cA+cB, (c+d)A=cA+dA

 

 

📌 행렬의 곱

A가 m X n 행렬이고, B가 n X p 행렬일 때, A와 B의 행렬곱은 AB = C로써 다음과 같이 m X p의 행렬이 됨

A의 열의 숫자가 B의 행의 숫자와 같아야 함

C의 (i, j)항들은 A의 i번째 행과 B의 j번째 열의 곱의 합으로 만들어짐

 

• 결합법칙 (Associative Property) 성립 : (AB)C=A(BC)
• 분배법칙 (Distributive Property) 성립 : A(B+C)=AB+AC, C(A+B)=CA+CB, k(AB)=(kA)B=A(kB)
• 항등원 (Identity Matrix) : IA=AI=A가 성립 (I는 n×n 단위행렬)
• 교환법칙(Commutative Property) 성립 X

 

 

📌 행렬의 거듭제곱

: An X n 행렬에 대해 거듭제곱이 가능함

ex)

 

 

📌 부행렬을 활용한 행렬곱

: 행렬을 여러 부행렬로 만들어 높은 차원의 복잡한 곱셈을 낮은 차원의 곱셈의 반복으로 변형

ex)